venerdì 3 giugno 2011

Ex #15-16 Urti con reazione vincolare impulsiva

Oggi abbiamo risolto questi due esercizi in cui non si conserva la quantita' di moto a causa di una reazione vincolare impulsiva. In particolare nel secondo esercizio risolvere il sistema dato da conservazione del momento angolare e dell'energia.

Per casa:

1- Pendolo ideale e Pendolo fisico di stessa massa e lunghezza partono da un dato angolo iniziale e urtano in modo totalmente anelastico una pallina di massa m posta sulla verticale. Calcolare l'angolo massimo raggiunto dai due pendoli.

2- Trovare il centro di massa di una figura piana data dalla differenza tra un quarto di cerchio di raggio 2R e un semicerchio di raggio R, come disegnato a lezione. Postate qui la soluzione, vediamo chi e' piu' rapido....

10 commenti:

Anonimo ha detto...

a me esce xcm=(17L)/(6pigreco) mentre ycm=(20L)/(9pigreco) non ne sono molto sicuro ma se metto L=1 e quindi R(grande)=2 escono numeri ragionevoli.

L'uomo della massa ridotta ha detto...

Salve Prof,
volevo chiederLe qualcosa riguardante il primo esercizio che abbiamo svolto insieme a lezione. Quando Lei ha calcolato la velocità angolare tutto ok. Per calcolare l'accelerazione angolare a lezione abbiamo derivato omega in funzione del tempo. Io ho pensato che per evitare di derivare qualcosa sotto radice quadrata fosse molto più conveniente derivare direttamente la formula dell'energia in funzione del tempo. Tuttavia Lei ha derivato l'angolo che giustamente varia in funzione del tempo. Il risultato è lo stesso se non fosse che a Lei usciva coseno, mentre a me seno, poiché non l'ho derivato pensando che l'angolo che la sbarra fa prima di colpire il cuneo quello è..non dipende mica dal tempo. Quindi ho fatto:

1/2 Iω^2 - mgl/2 sinθ(o) = 0

con θ(o) ho indicato l'angolo totale che la sbarra deve fare prima di colpire il cuneo.

Ho derivato in questo modo:

1/2 I d/dt(ω^2) - mgsinθ(o) d/dt (l/2) = 0

Iαω - mg/2 ωl/2 sinθ = 0

a questo punto il risultato finale a me viene: 3gsinθ(o)/4l mentre a Lei a lezione 3gcosθ/2l. Non so se l'angolo da considerare è tale che il coseno fratto 2l venga uguale a sin / 4l non so..a questo punto mi chiedo..c'é qualche problema? Pur derivando anche l'angolo quel 4 sotto rimane..derivando la formula dell'energia si va sempre sul sicuro..

TS ha detto...

No, non puoi prendere l'angolo costante pari al valore prima dell'urto.

Puoi anche ragionare derivando l'energia, ma bisogna derivare la variabile (angolo) e la sua derivata (velocita' angolare), e POI calcolare il risultato nel punto di interesse. Se fai cosi' viene I*omega*omega'-mgl/2*cos(theta)*theta'=0 e si semplifica theta' (ovvero omega), quindi ottieni lo stesso risultato trovato a lezione.

Non ho ben capito cosa hai derivato, ma di sicuro non puoi tenere l'angolo costante. Se hai ancora dubbi ne parliamo a lezione...

Sempre la massa ridotta ha detto...

Bene bene ho capito il problema dov'é..un'altra cosa. La professoressa Betti ci ha detto che quando un sistema non è simmetrico P = P(parallelo) + P(perpendicolare). Nel secondo esercizio per quale motivo P(perpendicolare) non lo consideriamo? Lo consideriamo trascurabile? In effetti se il corpo che cade dall'altezza h fa urto anelastico rimane attaccato e quindi significa che il sistema non è più perfettamente simmetrico rispetto all'asse di rotazione..

TS ha detto...

Non capisco questa scomposizione del momento angolare in parallelo e perpendicolare, e poi rispetto a cosa?

Forse a lezione avete visto che un corpo puo' ruotare liberamente attorno ai suoi assi di simmetria e che aggiungendo una massa puntiforme IN GENERALE il momento angolare non ha piu' una direzione costante. Nel nostro esercizio pero', IN PARTICOLARE, non e' cosi'. Ovvero il momento angolare della massa m e' sempre PERPENDICOLARE alla lavagna, cosi' come quello della sbarretta rotante!

Sempre io.. ha detto...

La professoressa ha fatto una lezione sul momento angolare: abbiamo calcolato il momento angolare di un cilindro prendendo un sistema di riferimento con origine coincidente nel centro di massa del cilindro stesso. A questo punto un generico vettore r che dall'origine giunge in uno qualsiasi dei punti del cilindro, la professoressa lo ha scomposto in un vettore orizzontale e in un vettore verticale:

r(vettore) = z(i)K(versore) x ρ(i)vettore

z(i)K è orientato verso l'asse z mentre ρ(i) è orientato verso l'asse y. Se nell'espressione del momento angolare andiamo a inserire tutto questo si ottiene:

P=Σm(i)ρ(i)^2 ωk - Σm(i)z(i)ωρ(i)

Il primo la professoressa lo ha chiamato P(parallelo) e si vede che esce Iω [ρ sarebbe secondo la nomenclatura usata dalla prof la distanza] I = mρ^2 e l'altro pezzo invece P(perp). Giustamente la Betti ci ha dimostrato che se un corpo è simmetrico quel P(perp) se ne va, si azzera, perché se è simmetrico il corpo rigido ci saranno componenti che si annullano. Adesso io mi chiedo: prima la sbarra era del tutto simmetrica. Ci va a finire la pallina, la massa che cade insomma..significa che a sinistra ci saranno dei punti più piccoli non compensati a destra e che quindi non essendo simmetrico il sistema bisogna mettere in gioco anche quel pezzo li..infatti non capisco bene a che serve questa componente aggiuntiva perché anche sul Focardi la nomina senza tuttavia mai utilizzarla negli esercizi..cioé non si tratta tanto della massa puntiforme che aggiungiamo quanto più del fatto che se calcolo il momento angolare di un corpo non simmetrico secondo quanto ho capito io anche dal libro, c'é da tenere in considerazione anche quest'altro pezzo. Come se calcolo il momento angolare di un cilindro cui è attaccata una scatola su un lato..qui abbiamo la sbarra con un proiettile conficcato: sicuramente la massa del proiettile è così piccola rispetto a quella della sbarra che questo P(perp) lo trascuriamo..cioé non capisco perché pure il libro è così preciso e poi lui stesso non lo considera..

Alba ha detto...

Anche a noi Pelissetto ha parlato di
P=P//+Pperp
in quanto, dalla definizione di momento angolare,
P=sum(r x q)
ha scomposto il vettore r (congiungente il polo al punto considerato) in uno // all'asse e uno perpendicolare.

In effetti non ho ben capito quando ciò vada usato...

TS ha detto...

Quello che vi e' stato detto a lezione, e che avete riassunto, e' IN GENERALE corretto, ovviamente. Ribadisco che IN PARTICOLARE se aggiungiamo una massa puntiforme all'estremo della nostra sbarretta il momento angolare aggiuntivo e' diretto sempre ortogonalmente alla lavagna, ovvero come quello della sbarretta.
Provate a ripensare al caso del solido simmetrico che avete visto a lezione. Se aggiungete la massa puntiforme NON in un punto generico, ma alla stessa quota del baricentro, allora il momento angolare aggiuntivo e' sempre diretto lungo l'asse!
Ora il nostro caso e' proprio questo, perche' la sbarretta non e' un solido tridimensionale.
Non so se sono stato chiaro e se ho ben interpretato il vostro dubbio. Ad ogni modo provate a leggere il paragrafo 7.3 di questa diepensa:

http://www.fisica.unisalento.it/~panareo/Dispense_di_Fisica/Corpo%20rigido.pdf

spero che possa chiarire eventuali dubbi residui! Ne possiamo sempre riparlare a lezione...

Massa Ridotta ha detto...

Si Prof..conviene parlarne perché è un pò oscura la faccenda. Detto sinceramente è un pò oscura anche sta maledetta massa ridotta.. :) cioé so quando usarla ma..boh!

G. (b1) ha detto...

prof! salve..
volevo postare la mia risposta al problemino che ha lasciato lei oggi riguardo la sfera vuota che compie piccole oscillazioni lungo una guida semisferica!
mi viene una pulsazione pari a
puls=sqrt[3*g/(l+r)]
..è giusta??
ho sfruttato il fatto che s(spazio percorso durante una semioscillazione) s=(l+r)*theta (come aveva già detto lei) e s=r*phi, sostituito nell'equazione diff. derivando due volte e poi approssimato sin(theta) con theta..
ottenendo che l'eq. del moto è theta(t)=theta0*cos(puls*t)
(se viene lasciato scivolare partendo da fermo e da un angolo theta zero)..

ma c'erano altre domande??

grazie!!