sabato 11 giugno 2011

Ex #17-18 Moto di Rotolamento

Oggi abbiamo visto il caso generico di ritolamento puro in presenza di forza e momento esterni. Abbiamo quindi visto il caso di una sfera lasciata andare con velocita' del CDM nulla ma moto rotatorio intorno al proprio asse in presenza di attrito.

Quindi le oscillazioni di un anello con una massa puntiforme saldata. Abbiamo osservato come si ottengano piccole oscillazioni approssimando l'energia totale ad una forma quadratica in theta e theta'.

Infine problema carrello-cilindro collegati da funi.

Per casa calcolo delle piccole oscillazioni (frequenza) di una sfera posta in un guscio semisferico.

venerdì 3 giugno 2011

Ex #15-16 Urti con reazione vincolare impulsiva

Oggi abbiamo risolto questi due esercizi in cui non si conserva la quantita' di moto a causa di una reazione vincolare impulsiva. In particolare nel secondo esercizio risolvere il sistema dato da conservazione del momento angolare e dell'energia.

Per casa:

1- Pendolo ideale e Pendolo fisico di stessa massa e lunghezza partono da un dato angolo iniziale e urtano in modo totalmente anelastico una pallina di massa m posta sulla verticale. Calcolare l'angolo massimo raggiunto dai due pendoli.

2- Trovare il centro di massa di una figura piana data dalla differenza tra un quarto di cerchio di raggio 2R e un semicerchio di raggio R, come disegnato a lezione. Postate qui la soluzione, vediamo chi e' piu' rapido....

venerdì 27 maggio 2011

Ex #13-14 Urti

- Problema chiodo (m) - martello (M) in approssimazione di urto anelastico, perche' conviene M>>m, massimo trasferimento energetico.

- Urto di una pallina di massa m che urta in modo totalmente anelastico con un sistema di due masse m collegate da asticella di massa trascurabile. Conservazione QDM e MA.

- Sistema di due masse M ed m vincolate da una molla (k,l_0, inizialmente a risposo) che viaggiano con velocita' v_0 verso una parete rigida con cui compiono urto elastico. Calcolo del moto del centro di massa dopo l'urto, della distanza minima raggiunta dalle masse (conservazione dell'energia) e dal tempo necessario a raggiungerla (1/4 di periodo).

- Calcolo del centro di massa per un quarto di cerchio in coordinate cartesiane. Quindi in coordinate polari.

venerdì 20 maggio 2011

OGGI ore 16:00

...Dimostrazioni in Aula Amaldi!

Prossime esercitazioni

27 Maggio aula Cabibbo
3 Giugno aula Cabibbo

Ex #11-12 Massa variabile e conservazione quantita' di moto

Abbiamo generalizzato l'equazione f=ma a sistemi a massa variabile, risolvendo poi il caso di un razzo che espelle linearmente nel tempo una certa quantita' di massa.

Abbiamo quindi calcolato l'incremento di velocita' che subisce un carrellino quando una persona posta sul carrello si lancia con velocita' relativa u opposta al moto.
Abbiamo generalizzato ad N persone di massa m che saltano insieme o una dopo l'altra, trovando che l'incremento di velocita' e' maggiore nel secondo caso.

A questo punto abbiamo mandato ad infinito il numero di persone mandando a zero la loro massa "con la stessa rapidita' ", in modo cioe' che il prodotto m*N=costante. Abbiamo visto come passare da somma ad integrale trovando alla fine la stessa identica espressione per la velocita' di un razzo.

Infine abbiamo visto il caso di un carrello di massa M e lunghezza 2L sul quale e' posta una massa m al centro "collegata" alla sponda attraverso una molla a riposo di costante elestica k. Il carrello viene urtato su una sponda da una massa m0 lanciata con velocita' costante v0, che si conficca nel carrello.
Calcolare:
1- le tre velocita' SUBITO dopo l'urto
2- la perdita di energia cinetica
3- l'equazione oraria della massa m a partire dall'istante successivo all'urto

per il punto 1 e' cruciale capire che la massa m NON altera il suo stato a seguito dell'urto, perche' non subisce alcuna forza impulsiva. 2 segue banalmente, abbiamo solo osservato come questo caso sia quello di massima perdita' di energia cinetica (urto totalmente anelastico). 3 si risolve scrivendo f=ma in cui consideriamo pero' lo spostamento relativo tra le ascisse di m e del carrello: x-X. Serve poi una seconda equazione ricavabile eguagliando l'espressione generale per la coordinata del centro di massa al suo stato di moto xcm+v0cmt in cui xcm e' la posizione del centro di massa iniziale mentre vcm e' la quantita' di moto totale diviso la massa totale.

giovedì 19 maggio 2011

FLUIDI: Lezione #2

Dinamica dei Fluidi:

- Punto di vista Lagrangiano ed Euleriano. Linee di corrente e di flusso e loro equivalenza all'equilibrio.

- Teorema di Bernoulli (derivazione) e sue conseguenze: spinta idrodinamica (effetto Venturi, profilo alare etc...

- Fluidi reali in movimento. Perdita di carico. Equilibrio tra forze di pressione e sforzi di taglio: profilo spaziale del campo di velocita' in una condotta percorsa da fluido reale. Calcolo della portata e sua dipendenza dal diametro della condotta

mercoledì 18 maggio 2011

FLUIDI: Lezione #1

- Definizione di fluido, approssimazione del continuo
- Liqudi (poco comprimibili, no forma propria) vs gas (comprimibili, no forma e no volume proprio)
- Azioni meccaniche: forze di volume e forze di superficie
- Forze di superficie normali (pressione) e tangenziali (sforzo di taglio)
- Definizione di viscosita'
- Derivazione delle equazioni della statica di un fluido ideale e conseguenze: superfici isobare=equipotenziali, caso particolare G_z=g (Stevino), principio di Pascal, barometro di Torricelli e principio di Archimede.
- Apparente paradosso del cilindro immerso per meta' che ruota in modo perpetuo. ---> Applicabilita' del principio di Archimede per corpi parzialmente immersi, valido solo se la superficie di separazione e' equipotenziale.
- Estensione delle equazioni della statica a sistemi di riferimento non inerziali. Superficie di separazione per un fluido accelerato. Perpendicolarita' tra gradiente della risultante delle forze di volume e superficie di separazione. Esempio del palloncino gonfiato ad Elio in autobus uniformemente accelerato.

venerdì 29 aprile 2011

Ex #9+10 Energia e attrito

1- Perlina che puo' scorrere con attrito su un'asta che ruota con velocita' w vincolata ad un estremo formando un angolo alfa rispetto alla verticale. Trovare l'intervallo di velocita' angolare per cui la perlina e' ferma. Abbiamo sottolineato la possibile presenza di forza di Coriolis (quando la perlina scorre) e della corrispondente reazione vincolare dell'asta. Abbiamo quindi visto come impostare il problema in un sistema inerziale e non, enfatizzando la relazione tra ACCELERAZIONE centripeta e FORZA centrifuga.

2- Due blocchi su piano inclinato (1 e 2) collegati ad un terzo (3) appeso mediante fune e carrucola. Il blocco centrale ha attrito col piano. Abbiamo trovato l'intervallo di m_3 per cui il sistema e' fermo. Quindi, nel caso in cui la massa m_3=m_3_min/2 abbiamo calcolato accelerazione e tensioni. Infine la velocita' acquistata dopo aver percorso una distanza D lungo il piano, il lavoro della forza di attrito e la variazione di energia potenziale totale. A casa verificate che tutto torni con E_f-E_i=L_nc ovvero variazione di energia totale = lavoro delle forze non conservative.

mercoledì 27 aprile 2011

Ex #7+8: conservazione dell'energia

Oggi abbiamo visto i seguenti esercizi:

1- Angolo di distacco dall'igloo partendo dalla sommita' con velocita' iniziale NON nulla e assenza di attrito. Abbiamo utilizzato l'equazione del moto radiale per calcolare il vincolo e lo abbiamo poi imposto = 0. Per fare questo e' stato necessario ottenere l'espressione di v^2(theta). Sebbene sia possibile trovare questa quantita' utilizzando l'equazione del moto tangenziale, e' particolarmente conveniente usare la conservazione dell'energia. Il risultato finale e', NEL CASO DI VELOCITA' INIZIALE NULLA, un' angolo di distacco indipendente dal raggio e dalla massa.

2- Pista con molla iniziale, giro della morte e piano inclinato finale, con 2 tratti con attrito. Abbiamo calcolato la compressione minima necessaria a completare il giro (serve arrivare in cima con velocita' sufficiente da assicurare la necessaria accelerazione centripeta). Quindi l'espressione di velocita' e vincolo in funzione dell'angolo lungo la circonferenze e infine la distanza percorsa lungo il piano inclinato.

3- Perlina incernierata ad asse verticale e tenuta da due molle k1 e k2 vincolate all'asse x in posizione diametralmente opposta -A e +A. Abbiamo trovato, NEL CASO SENZA ATTRITO, posizione di equilibrio e reazione vincolare. Quindi equazione oraria con partenza a velocita' nulla dalla quota z=0. Quindi nel caso CON ATTRITO abbiamo visto la forza minima per spostare la perlina dalla posizione di equilibrio e la quota minima che raggiunge quando la si lascia andare con le stesse condizioni iniziali del caso senza attrito.

Per casa verificate l'ultimo punto con l'equazione delle forze.
Attenzione che in quest'ultima risposta mi sono perso un segno MENO.

Ci vediamo venerdi prossimo

lunedì 18 aprile 2011

Ex #5+6 Attrito radente

Oggi abbiamo visto 2 problemi con attrito.

1- Due blocchi sovrapposti, uno puntiforme l'altro lungo L, tra i quali c'e' attrito. Quello inferiore (poggiato su un pavimento senza attrito) viene trascinato da una forza orizzontale costante F. Abbiamo calcolato il valore MASSIMO di F per cui i blocchi sono solidali e la loro comune accelerazione a. Abbiamo quindi visto quali sono le accelerazioni dei blocchi nel caso in cui F=2*F_MAX. Infine abbiamo calcolato il tempo in cui il blocco superiore cade e qual'e' la sua ascissa in questo momento (in un sistema inerziale). Per casa calcolate la velocita' nel momento di caduta dalla cinematica (risolta a lezione) e verificate il risultato utilizzando la conservazione (o meglio non-conservazione) dell'energia.

2- Un blocco vincolato orizzontamnete da una molla che si trova a lunghezza di riposo L_0 e' posto su un tappeto scorrevole con attrito. Il tappeto si mette in moto istantaneamente con velocita' v quando la molla e' appunto nella posizione di riposo. Calcolare:
- l'elogazione massima della molla per cui il blocco NON slitta sul tappeto
- l'istante in cui inizia a slittare
- l'equazione oraria dal momento in cui slitta fino al punto in cui la sua velocita' nel riferimento inerziale diventa nulla
- il valore della v del tappeto per cui la molla viene compressa

Il messaggio fondamentale dei due esercizi e' che:
- la forza di attrito statico va trattata come un "vincolo con carico di rottura", nel senso che il suo valore e' definito dalla condizione di annullamento di tutte le altre forze. Questo pero' accade fino a che la forza di attrito non raggiunge il suo valore MASSIMO (equivalente appunto al carico di rottura di una fune/pavimento) pari in modulo a mu_s*N
- la forza di attrito dinamico ha invece un valore costante pari a mu_d*N indipendentemente dalle altre forze in gioco
- non dovreste piu' avere dubbi su come risolvere l'equazione di un oscillatore armonico forzato da una costante. La soluzione e' la somma della omogenea e di una particolare. A questa somma applichiamo le condizioni iniziali per determinare le costanti arbitrarie di ampiezza e fase.

venerdì 8 aprile 2011

Ex #3+4 Proiettile e deviazione filo a piombo

Oggi abbiamo visto:

1- Esercizio su un proiettile lanciato tra due navi in moto rettilineo uniforme. Abbiamo calcolato la distanza alla quale deve avvenire il lancio, la distanza al momento dell'urto, e quali sono i valori di "alzo" per cui la nave viene colpita quando la distanza e' maggiore di una data distanza di sicurezza. Attenzione a come risolvere la disequazione sin(2*alpha)>qualcosa

2- Abbiamo calcolato l'angolo di deviazione del "filo a piombo" in funzione della latitudine. Ovvero l'angolo compreso tra il vettore g (visto nel sistema di riferimento inerziale delle stelle fisse) e il vettore g' visto nel sistema non inerziale della terra. Si tratta di scrivere g'=g-A (vettorialmente), scrivere le componenti cartesiane di g e di A e quindi sfruttare la proprieta' del prodotto scalare.

PER CASA: Esercizio di un uomo che si tira su da solo in ascensore applicando una forza F ad una fune rinviata all'ascensore. Attenzione a separare il caso in cui c'e' contatto da quello in cui non c'e' contatto.

lunedì 4 aprile 2011

Prossima esercitazione

VENERDI 8 APRILE

Portate l'esercizio del bersaglio risolto, magari raccoglieteli prima sulla cattedra cosi' risparmiamo tempo e cominciamo subito.

Ex #1+2: equazioni orarie

Oggi abbiamo cominciato con il "test d'ingresso" dello scivolo senza attrito. Abbiamo visto che la soluzione e' quella che riporta la massa m piu' in basso della quota di partenza. Questo perche' dovendosi conservare la quantita' di moto orizzontale nella fase di volo (ovvero la componente orizzontale della velocita') allora l'energia' cinetica non puo' essere nulla al punto di massima quota, come dovrebbe se la massa tornasse alla stessa altezza. Nonostante non abbiate ancora "fatto" ufficialmente la conservazione dell'energia piu' della meta' della classe ha risposto correttamente, seppur con argomentazioni a volte approssimative.

Siamo quindi passati a due esercizi:

1- Calcolo di traiettoria per un'equazione oraria a due componenti paraboliche. Quindi calcolo delle componenti normali e tangenziali (rispetto alla traiettoria) dell'accelerazione. Abbiamo per questo sfruttato le proprieta' del prodotto scalare e del prodotto vettoriale: La componente tangenziale si ottiene facendo il prodotto scalare dell'accelerazione e del versore velocita', mentre quella normale facendo il modulo del prodotto vettoriale degli stessi.

2- Calcolo di velocita' e accelerazione in coordinate polari per l'equazione oraria di un'elica a passo fisso e apertura esponenziale. Abbiamo quindi calcolato la condizione per cui si annulla la componente radiale dell'accelerazione. Osservazione importante: il fatto che l'accelerazione radiale sia nulla NON implica che la componente radiale della velocita' resti costante, come avviene ad esempio in coordinate cartesiane a versori fissi.

per casa risolvere questo esercizio